Вернуться к содержанию

   Для моделирования механического поведения твердых частиц сыпучих материалов широко применяется метод частиц или метод дискретных элементов (МДЭ, DEM). Как принципиально дискретный метод, основанный на приложении законов Ньютона и контактной механики, он не имеет недостатков континуальных (непрерывных) моделей, проявляющихся при нарушении сплошности вещества или в результате дискретности его внутренней структуры. Высокая эффективность этого метода обусловлена его универсальностью, относительно невысокой стоимостью вычислительных экспериментов по сравнению с натуральными и практически неограниченными возможностями диагностики моделируемых явлений.

 Гранулированный материал представляется совокупностью из N обособленных упругих частиц сферической формы радиуса Ri (рисунок 1.а). Согласно законам классической Ньютоновской механики, движение каждой i-й частицы полностью определяется координатами ее центра тяжести xi и углом поворота θi вокруг центра тяжести как жесткого целого (i=1,…,N).

 Система уравнений движения для каждого элемента в прямоугольной декартовой системе координат имеет следующий вид:

где t – время, mi – масса частицы, Ii – момент инерции, векторы Fi представляют собой сумму сил, действующих на контактах i-й и j-й частиц (включая силу тяжести):

Вектор Mi – момент сил Fij относительно центра i-й частицы:

   Поверхностные силы Fij состоят из сил отталкивания Fn,ij и сил трения Ft,ij. Сила отталкивания возникает между частицами при условии δij > 0 (рисунок 1.а) и направлена по нормали nij в направлении центра i-й частицы (рисунок 1.б). Для ее определения выберем вязкоупругую модель соударения:

где Fᵉn,ij – упругая; Fᵛn,ij – вязкая составляющие.

    Согласно Дж. Герцу, упругая часть силы Fn,ij равна:

где vi – коэффициент Пуассона, Ei – модуль упругости частицы. В случае соударения частицы и прямолинейной границы, в формуле (5) достаточно положить один из радиусов равным бесконечности.

Рисунок 1 – Задание параметров для описания контакта, δij – величина перекрытия частиц:

геометрия модели (а); силы, действующие на контакте (б)

Вязкая составляющая силы отталкивания определяется из соотношения:

где Mij – приведенная масса частиц, un,ij – проекция относительной скорости точки соударения на ось nij, γn – коэффициент демпфирования, оказывающий основное влияние на коэффициент восстановления скорости после удара.

   Сила трения Ft,ij направлена против движения i-й частицы относительно j-й, а ее величина определяется соотношением:

где ut,ij – проекция скорости точки контакта Ci относительно скорости точки Cj на ось tij, φt – угол контактного трения между частицами.

   Таким образом, система дифференциальных уравнений второго порядка (1–2) относительно неизвестных xi, θi и соотношения (3–7) полностью определяют движение и соударение совокупности упругих частиц, моделирующих дискретную среду [1].

   Метод дискретных элементов реализуется как на плоскости (рисунок 2), так и в трехмерной системе координат (рисунок 3).

Рисунок 2 – Реализация метода дискретных элементов на плоскости

Рисунок 3 – Модель плотной упаковки сфер по методу дискретных элементов: 10000 частиц (а); 30000 частиц (б)

  Наиболее известны следующие программы, реализующие метод дискретных элементов: Chute Maven (Hustrulid Technologies Inc.), PFC2D и PFC3D, EDEM (DEM Solutions Ltd.), GROMOS-96, ELFEN, MIMES, PASSAGE®/DEM [2].

Библиографические ссылки:

[1] – Клишин, C.B. Применение метода дискретных элементов при анализе гравитационного движения гранулированного материала в сходящемся канале / C.B. Клишин // Горный информационно-аналитический бюллетень.(научно-технический журнал), 2009, №12, С.273-277.

[2] – Арсентьев, В.А. Методы динамики частиц и дискретных элементов как инструмент исследования и оптимизации процессов переработки природных и техногенных материалов / В.А. Арсентьев, И.И. Блехман, Л.И. Блехман, Л.А. Вайсберг, К.С. Иванов, А.М. Кривцов // Обогащение руд. 2010. № 1. С. 30–35.

Вернуться к содержанию

При копировании материалов ссылка на сайт www.sunspire.ru обязательна. Также, вы можете использовать библиографическую ссылку на учебное пособие:

"Белов, В.В. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учебное пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов, В.К. Иванов, Е.Н. Коноплев // Тверь: ТвГТУ, 2015. 108 с."